絨の独り言記録

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三角関数合成公式が、どのように生まれたのかを理解・考察してみた

どーもどもども絨でーす!

 

お久しぶりです。更新が久々になってしまい申し訳ありません。

 

今回は、高校数学において、何かと導出過程が端折られて何となく覚えがちな

三角関数合成公式

について、

どのようにしてあのような式が生まれたのかを自分なりに噛み砕いて考え、記事にしてみました。

 

現役の高校生の方や、大学生で高校数学の復習をしたい方等、是非参考にして頂けると嬉しいです。

 

また、前にも数学関連の記事を出したのですが、スマホで記事を確認した際に数式が上手く表示されてなかったので、今回は数式部分をPowerpointスクリーンショットを用いていきます。

もし、ご意見等ありましたら、気楽にコメントして下さい!

 

目次

 

1. 三角関数合成公式とは

まずは三角関数合成公式について軽く復習しましょう。

一般的に、三角関数合成公式は以下の式のように表されますよね。f:id:mathpacejyu:20191222193945p:plain

結局は、何倍かされたsinとcosの和を、1つのsin(又はcos)の式に合成する式ですよね。

恐らく、大体の高校では「こういう式なんで覚えてください」と言われ、計算出来ればOK!って感じだと思います。

ですが、人によってはなんでこの式で合成出来るのか不思議に感じている方もいると思います。

次の項目から本格的にどのように上記の式が生まれたのか考えていきます。

 

2. 加法定理の復習

三角関数合成公式は、加法定理をベースにしているので、まずは加法定理を復習します。

sinの加法定理は以下のように表されましたよね。

f:id:mathpacejyu:20191222195855p:plain

この加法定理と三角関数合成公式を見比べながら、考察していきます。

 

3. 合成公式の誕生

3.1 合成したい式と加法定理を係数比較すると、、

まずは、加法定理と合成する前の式(合成したい式)を係数比較してみます。

 

f:id:mathpacejyu:20191222202131p:plain

 

このように係数比較するとsinやcosが-1から1の範囲に入っていなかったりsinとcosの2乗の和が1になっていなかったりと問題だらけなのが分かりますね。

つまり、加法定理をそのまま使って合成することは出来ないので、細工をする必要がある訳です。

ではどのような細工をするとベストかを次から考えていきます。

 

3.2 合成したい式にベストな細工を施す

ベストな細工の条件を考えていくと、以下のようになります。

f:id:mathpacejyu:20191222221959p:plain

 ここで、括る時の符号はプラスでもマイナスでも結果として同じになるのでどっちでも良いです。

 

3.3 細工を施した後

実際に細工を施してみましょう。

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このように、sinやcosの図形的意味が気になりますね。

 

3.4 sinα, cosαの図形的意味(αの求め方)

図形的な意味を確認する前に、数学Ⅰで習うsinやcosの意味を復習してみます。

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よって、

f:id:mathpacejyu:20191222223641p:plain

このようにして角度αも求める事が出来る訳です。

最終的には、冒頭に載せた三角関数合成公式が正しいことが分かります。

 

4. まとめ

結局、加法定理から出発して、係数が1より大きい時でも何とか合成できるように加法定理を拡張したものが三角関数合成公式なんですよね。

そのような認識を持ち、誕生の背景もこの記事を読んで理解して頂けると、合成公式をより身近に感じることが出来、苦手意識を払しょくできるかもしれませんね。

 

ではではまたまた~