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解法暗記だけでなく、数学の本質を教える意味と方法

どーもどもども絨です。

僕は塾講師と言った教育系のバイトを幾つかやっています。数学などの理系科目を教える機会が多いのですが、そういった機会の中で最近感じたことを書きたいと思いました。ここで、皆さんにいきなり質問をぶつけてみたいと思います。

 

Q. 数学が苦手な子には、解法を暗記させるのは良いか

前提として、僕の周りの人(先生と呼ばれる人)は、数学が苦手な子に対してやり方を暗記させている方が多いと思っています。この方法、勿論ですがアリです。ただこのやり方では、経験ある方も多いと思いますがびっくりするくらい応用が利かないんですよ。例えば、簡単な例として中学2年生で学ぶ連立方程式の解き方を教える時、

 2x+3y=5 ・・・①
 4x+3y=9 ・・・②

上記のような問題が出た時とします。そして先生は、以下のように教える訳です。

先生:「係数が同じなので、 y を消去しましょう。 y を消すために、②式ー①式をします。そうすると、 2x=4 となって x=2 ですね。 x の値が分かったので、②式か①式の x  2 を代入して、 y の値を求めることで答えが出ます。例えば①式に代入すると、 4+3y=5 となって、 y=\frac{1}{3} ですね。」

と言った感じで説明すると思います。確かにしっかり答えに辿り着ける良い説明だと思いますが、以下のように少し問題の式の形を変えると、どうしたら良いのか分からなくなる生徒が多いです。

 2x+3y=5 ・・・①
 9=4x+3y ・・・②

上の例では、②式の左辺と右辺を入れ替えれる作業が増えるだけなのですが、そういった生徒さんはそのような発想にはなりません。その理由は生徒さんが馬鹿なのでは無く、

方程式そのものが理解出来てないから

なのだと思います。

この時、先生は「②式の左辺と右辺を入れ替えてみて。」と言って指導は終わることが多いように感じます。このままだと、

生徒「分かりません!」→先生「こうやってみて」

生徒「分かりません!」→先生「こうやってみて」

と言った具合に先生と生徒のイタチごっこになる上に、そういった生徒さんは、定期テストなどで新しい形式の問題を解くことは出来ないでしょう。

 

A.「方程式」が何なのかを簡単な例で教えてみる

まず、ちょっと形式を変えると解けなくなる生徒さんは、問題に出てくる数式の本質がまったく理解出来ていない場合が殆どです。例として上記の連立方程式の場合、このような生徒さんは、「②式ー①式といった計算をして良いのか?」「左辺と右辺って入れ替えて良いのか?」って思っていたり、このような質問をぶつけられたら、きっと答えられないはずです。

ですから、先生は、そういった生徒に対して、「方程式とは何なのか、とその性質」を簡単な例で説明すると良いと思います。本質の説明のようなものですね。本質を知ってれば、人は応用が出来ます

「方程式」とは大雑把に言えば、2つの数の大きさが同じなので、その2つの数をイコールで結んだものですよね。例えば

 10   =   10 ・・・☆

も方程式(厳密には方程式とは呼べないけど)のようなものです。左辺も右辺も同じ大きさである10なので、イコールで結ばれている訳です。

☆式の左辺と右辺を入れ替えてみましょう。

 10   =   10

例え左辺と右辺の値を入れ変えても、やはり左辺と右辺が等しいことが分かります。これにより、方程式は左辺と右辺を入れ替えても良いことが分かる訳です。

同様に考えると、☆式とは別に新たに方程式(もどき)の

 6   =   6 ・・・★

を用意して、☆式ー★式の計算をすると、

 ☆-★→4=4,  ☆+★→16=16

となり、2つの方程式の足し算・引き算が出来ることが分かります。同じ要領で、2つの方程式の掛け算・割り算や、方程式の両辺を定数倍することが出来ることも確認頂けると思います。

つまりこのような説明をすることで、生徒は本質的な部分である「方程式とは何か」「方程式の計算は左辺と右辺を等しく保つことが重要であることが直感的に分かるわけです。

実際にこの説明を僕はよく使用していますが、方程式について理解を深めてくれる子が多く、特に顕著に見られるのが、自分が考えた解法が数学的に間違ってないか、自分で確認できるようになることです。例を挙げると、

生徒「この問題では2つの方程式を掛け算したいなー。掛け算していいか確認してみよう。 6=6  8=8 で掛け算すると、 48=48 。左辺と右辺が等しい状態がキープ出来てるから、この計算はしても大丈夫だ。」

という感じで生徒の力だけで自己解決する訳です。

 他の数学分野でもこのような簡単な例を用いた本質の説明は可能だと思います。

更に、早い段階でこのような本質的な部分を簡単な例を用いて理解しておくことで、高校内容への応用自分で本質を見抜く力が身に付きやすいです。これは、すべての数学分野で言えることです。まだ数学の全ての分野で上記のような簡単な例を思いついているわけでは無いので、様々な生徒を教える中で考えていきたいと思っています笑

+α. 方法を覚えさせることも重要

しかし、上記のような説明をしても瞬間的に理解出来なかったり、テストまで時間が無かったりする場合もあると思います。そのような場合は最初にひたすら解法を覚えて答えは出せるようにした方が良いと思います。テストの点が取れさえすれば、勝ちですから笑

ただし、出来るだけ早い段階で、まとまった時間を設けて簡単な例を用いた本質の説明をしてあげたほうが良いと思います。

 

〇まとめ

方法を覚えることは、テストの点を取る上では重要な事ですが、どこかしらのタイミングで必ず簡単な例を用いた本質の説明を受けるor自分で本質を考えて知ることが大事だと思います。

 

簡単な例の部分で触れた 10=10 といった式は、実際は方程式ではありません。方程式は式の中に1つ以上の変数(文字)を含む必要があります。教える際は、 10=10 のような式を「方程式」とは呼ばずに、「方程式もどき」と濁した方が賢明だと思います笑 その点はご注意下さい。

 

 

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